*** Des suites mêlées

On considère les deux suites  $\left(u_n\right)$ et  $\left(v_n\right)$ définies par $u_0=1$ , $v_0=4$  et, pour tout entier naturel $n$ , par $u_{n+1}={\displaystyle \frac{u_n+v_n}{2}}$  et  $v_{n+1}={\displaystyle \frac{u_{n+1}+v_n}{2}}$ .

1. Calculer $u_1$ , $v_1$ , $u_2$  et $v_2$ .

2. Soit $\left(w_n\right)$  la suite définie pour tout entier naturel $n$  par $w_n=v_n-u_n$ .
    a. Montrer que la suite  $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ .
    b. Exprimer, pour tout entier naturel  $n$ , $w_n$  en fonction de  $n$ et préciser la limite de la suite $\left(w_n\right)$ .

3. Soit $\left(t_n\right)$  la suite définie, pour tout entier naturel $n$ , par $t_n={\displaystyle \frac{u_n+2v_n}{3}}$ .
    a. Démontrer que la suite  $\left(t_n\right)$ est constante.
    b. En déduire, pour tout entier naturel  $n$ , les expressions de $u_n$  et $v_n$  en fonction de $n$ .