*** Des suites mêlées

On considère les deux suites  `\left(u_{n}\right)` et  `\left(v_{n}\right)` définies par `u_0=1` , `v_0=4`  et, pour tout entier naturel `n` , par \(u_{n+1}=\dfrac{u_{n}+v_{n}}{2}\)  et  \(v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}+v_{n}}{2}\) .

1. Calculer `u_1` , `v_1` , `u_2`  et `v_2` .

2. Soit `\left(w_{n}\right)`  la suite définie pour tout entier naturel `n`  par `w_n=v_n-u_n` .
    a. Montrer que la suite  `\left(w_{n}\right)` est une suite géométrique de raison \(\dfrac{1}{4}\) .
    b. Exprimer, pour tout entier naturel  \(n\) , \(w_n\)  en fonction de  `n` et préciser la limite de la suite `\left(w_{n}\right)` .

3. Soit `\left(t_{n}\right)`  la suite définie, pour tout entier naturel `n` , par \(t_{n}=\dfrac{u_{n}+2v_{n}}{3}\) .
    a. Démontrer que la suite  `\left(t_{n}\right)` est constante.
    b. En déduire, pour tout entier naturel  \(n\) , les expressions de `u_n`  et `v_n`  en fonction de `n` .